数·测量·复连续

——兼论刘绍光一元数理论的基本假设

张祥平

(北京农业学院，北京100020)

    [内容提要]  自然敷、分数、负敷、无理敷和虚数都可以而且应该定义为测量的结果。“实数是

连续的”这一命题从来没有被证明(它是一条公设或公理)．“复敷是连续的”是其合乎逻辑的发展

——在“复数体”之内，目前已知的所有运算都能够施行。刘绍光的“一元数理论”通过。直接在实空

间中进行实虚权衡”的方法解决了有一部分复连续空间中的物理量(即虚空间中的物理量)在目前

还不能够测量的问题，使得理论物理学在爱因斯坦和量子力学之后获得重大进展。

  关键词：数，测量，连续，复连续，一元数理论

l引言

    近代物理学是从如下三个重大认识开始起步的：(1)空间点与空间点都是对等的，不同的

空间参照系不会影响物理事件的观测结果(伽里略的空间相对性原理)；(2)力学系统中质点的

相互运动存在规律性(开普勒的行星运动三定律)；(3)每两个质点之间都存在引力，引力大小

与这两个质点的质量之积成正比，与其间距离的平方成反比，比例系数取决于测量单位或量纲

(牛顿第一定律)。作用在质点上的任何不为零的合力都会改变质点的运动状态(产生加速度)

——方向的变化与合力的方向相同，大小的变化等于合力的大小除以质点的质量(牛顿第二定

律)。对其它质点施加的任何力(含引力)，都会从其它质点受到反向而等值的力(牛顿第三定

律)。在这三个认识之中，“时间”的影响很少深入探讨，时间只是作为一个参量出现在速度和加

速度之中。至于空间和时间本身是否有其内在结构，则毫无涉及。

    爱因斯坦狭义相对论把“光速不变”作为基本假设(公理，继上述三大认识之后的第四个重

大认识)，开始探讨“同时性”和“长度测量”的相关(例如“时滞效应”和“尺缩效应”)，把时间看

作四维时空中的一维(时空相对性原理——时间与空间的对等性；这种对等性使得时间与空间

同样作用于“质量增加效应”：运动质量表达式中的速度是空间距离对时间的导数)。量子力学

中的“测不准原理”从另一个角度讨论空间和时间的相对性——在较小尺度或较大速度的情况

下，不可能同时准确测定位置(空间)和动量(其表达式中的速度是距离对时间的导数)。爱因斯

坦广义相对论进一步涉及空间本身的内在结构(黎曼几何中的弯曲空间)。光的波粒二象性则

显示出时间的内在结构：以光速为测量单位．可将波长视为空间标度，将频率视为时间标度，不

同颜色(频率)的光波即可视为不同的时间结构(“红移”现象源于时滞效应)。

    刘绍光(1879—1989)的“一元数理论”直接涉及时空内在结构。他的基本假设(以下简称刘

氏基本假设)是：任何空间单元或时间单元都有双重测度——“矛”和“盾”。矛和盾的组合千变

万化，但是，其中只有五种组合方式最为常见：(1)一元抛物线幂数程序；(2)一元正负交叉双曲

线幂数程序；(3)一元高级抛物线幂数程序；(4)一元对数抛物线幂数程序；(5)一元的等角对数

螺线幂数程序。推论(一元的开阖定理)是：测量单位本身(“1”或“整元”)也是双重的——它等

于阖的因数(可以是0．9、0．45、0．3等等)乘以开的因数(如1．111……l、2．2222……2、3．

3333……3等等)([1]第5—8页)。时空结构决定了质点的运动和物质体系的组成。因此，存在

着一些特定的基本数量(类似于引力常数、光速、普朗克常数等)，即“律数”([1]第l一5页)。

    刘绍光用他的一元数理论不仅推算出了已有的各种物理化学理论所得到的结果，而且还

推算出了已有的各种物理化学理论所没有得到的许多结果并与观测结果相符。但是，由于上述

的刘氏基本假设与近现代数学物理的发展之间存在“断层”，至今只有少数青年学者认真探

讨。，大多数学者则对其“敬而远之”——既不能轻易否定，也难以表示首肯。

    笔者以为；这个断层源于如下的问题：实数是不是连续的?更通俗地说：实数能不能填满这

页纸的一条边线(直线段)?

    从伽里略到爱因斯坦的空间和时间都是“实连续的”，而刘绍光却直接利用了“复连续时

空”的数学推论——他的矛和盾正是实单位和虚单位，“对数螺线”也正是复数p。exp(ia)在一

定取值范围内所表示的“对数曲线”(p是复数的模，exp表示自然对数，i是虚单位，a是复数的

辐角)。

    本文将论证：“实数是连续的”是个公设(实连续公设)，从来没有被任何人证明过，因此不

是定理。另一方面，虚数和无理数，以及分数和负数，都象自然数一样，可以而且应该定义为测

量的结果(数的相对性原理，即不同数类之间的对等性；参见前述的空间相对性原理和时空相

对性原理)。由此，至少可以从公理化系统的角度说明：上述的刘氏基本假设确是近现代数学和

物理的一个合乎逻辑的发展。他的“一元数理论”之所以在半个世纪中受到忽视，是“测量落后

于运算”所造成的认识上的后果——自然数中心论和试图证明实数是连续的。

数是测量的结果

    测量是选定单位与被测对象的对应，以及该单位的各级亚单位与被测对象的各级剩余部

分的对应。其中，一级亚单位以进位制的次数与选定单位相对应，二级亚单位以同一进位的次

数与一级亚单位相对应，依此类推。

    如果选定单位以有限次数与被测对象对应，那么测量结果是正整数，即自然数。如果选定

单位以有限级亚单位的有限次数与被测对象对应，或以无限级亚单位的循环次数与被测对象

对应，那么测量结果是分数。在正空间和正时间中测量的其它结果是无理数(这类结果的存在

性可以证明，参见下节)。用正空间和正时间中的单位对负空间和负时间中的被测对象进行测

量的结果是负数(这类测量的可操作性参见下节)。无法用正空间和正时间中的测量单位完成

测量的被测对象，则与虚数的l冽量结果相对应(这类测量的逻辑合理性参见下节)。

    零是测量的起点，或者说是测量的初始结果。正整数、正分数、负整数、负分数和零，合称有

理数；有理数与无理数(正、负)合称实数；实数与虚数合称复数。也就是说，一切数都是对等的

——它们都是测量的结果。这是数学中的相对性原理．正与物理学中的相对性原理相应

3  自然数中心论源于测量滞后于运算

    有不少数学家认为：无理数与自然数有着本质上的不同：自然数可以“自定义”(仅利用集

合、序、对应等初始概念进行定义)，而无理数却要用相互具有运算关系的两个自然数所组成的

序偶(或数对)来定义(如3／2中的2和3)；甚至要用无穷多个有理数才能定义(如狄台金与

康托定义，参见后文)。不仅如此，在某些数学家看来，分数和负数也要用序偶来定义(如2／3中

的2和3，又如2—3中的2和3)([3]第74—270页)。如果说用序偶来定义无理数类似于天文

学中用地球定义冥王星(该行星是先被计算认定，后被观察发现的)，那么用序偶来定义分数和

负数就类似于天文学中用地球定义火星和木星——自然数或地球成了“自然的”或“中心的”，

而其它的数类或行星则成了“使然的”或“次生的”。

    把自然数作为“中心”，有别于分数、无理数、负数和虚数，这种认识上的内在缺陷源于：近

代数学的基本框架是在测量技术相对落后的状况下形成的；与此同时，数学的运算技术却已超

前发展——当人们还没意识到各级亚单位的重要性时，除法运算已给出了分数；当人们还不知

道有可能出现无限不循环的测量结果时，开方运算已经给出了无理数；当人们还不知道正空间

中的测量单位有可能测出负的结果时，减法运算已经给出了负数；当至今为止的不少人还没有

认识到有些事物根本不可能用正空间中的单位来完成测量时，负数开偶次方的运算已经给出

了虚数。这样，人们只好用自然数和运算(除、开方、减等)去定义其它的数，从而导致了数与数

之间的不对等现象——自然数源于计数或测量的需要(最初的测量单位是手指，手指关节等，

参见[3]第7d一75页)，其它数类却是源于运算的需要(“在集合A中不能施行的或者不是经

常能旖行的某种运算，在B中应能施行”，[3]第120页)。

    分数出现于负数之前，因为进位制和亚单位较早被古文明民族所利用([3]第儿9页)，时

至今日，测量技术的发展已经使大多数人很容易认识到分数是测量的结果，不必依靠除法运算

来定义分数——现代的基础测量单位是根据地理空间小段和太阳视运动的时间小段来厘定的

“米”和“秒”，利用它们的亚单位(毫米、微米；毫秒、微秒，等)，人们就能完成有关测量。

    近代物理学的发展使得科学家们认识到：在一定的操作或实验观察中，可以用正空间中的

单位测出负的结果(负数)，因此，没有必要用减法运算来定义负数。例如，在黑洞发射的现象

中，以正粒子作为测量单位，就可以测出负空间中的粒子数为负数——通常所说的“真空”作为

场的基态是零，负的被测对象(电子，带负电荷)进入黑洞，在正空间中留下孤独

的正电子，“其总效果看起来就如同黑洞在发射一样”([5]第137页)。更具操作性的实验是一

个负电子与一个正电子在真空中湮没为一对光子，其中，正电子的出现说明负的被测对象在某

些实验条件下也可以是测量的结果。有些现代公民由于不了解黑洞和湮没现象而难以想象正

空间中的测量单位可以得到负的测量结果；这正象有些孓遗部落居民由于不了解五个手指之

外的测量单位而难以想象大于五的数，甚至由于不了解三个手指关节之外的测量单位而难以

想象大于三的数([3]第75页)。

    目前还没有什么测量单位能使人们在测量过程中观测到无理数或虚数的测量结果。因此，

无理数和虚数的存在，是通过有理数及其运算来加以证明的。例如，只要证明／2不是有理

数，√-2不是实数就可以了。但是，这类证明只是告诉人们，存在着不同于自然数、分数、负整

数、负分数类型的测量结果(参见上节)；却绝不是告诉人们，有一些被测对象不可测出结果；也

不是告诉人们，有一些测量结果比另一些测量结果更“有理”或更“实在”。

    其实，同一个被测对象，其测量结果到底是有理数还是无理数，完全取决于人为选定的单

位。例如，一个正方形的边长，如果以它自己的长度为测量单位，测量结果就是有理数“l”；但如

果以这个正方形的对角线长度作为测量单位，测量结果就成了无理数“／2／2”。因此，无论

“运算”在发现某一事物(含测量结果)的过程中起了多大的作用，都不能替代那个事物本身

——无理数和虚数都是测量的结果，而不是有理数运算的结果。这正如冥王星是一颗行星，而

不是其它行星运算的结果一样(尽管其它已知行星的轨道及有关参数的运算在发现冥王星的

过程中起了不可缺少的作用)。

    总之，任何数都是对等的，它们都是测量的结果。作为数学中的相对性原理，它相应于物理

学中的相对性原理(参见本文第一节)：“任何时空点都是平等的”([5]第5页)。“自然数中心

论”已经被亚单位的采用和近代物理的发展所否定，“有理数中心论”也一定会随着测量技术的

进步而被否定——无理数和虚数的测量结果一定能够被人们观察到(如采用动态的测量单位

以及与生命现象相关的测量单位，等等)。

d“实数是连续的”从未被证明：“复连续”发展“实连续”

    “自然数中心论”象“地球中心论”一样，妨碍人类认识客观世界。例如，对于“实数是连续

的”这一命题，就有一些数学家认为它是一个可以被证明的“定理”。于是，他

们误认为人类已知的“实空间”之中已经不存在任何“空隙”，“可积的”微分方程能够描述一切

物理现象。这正如“地球中心论”者们认为宇宙是如此完美，托勒密的“本轮”体系能够描述一切

天体现象。

    其实，任何一个试图证明“实数是连续的”这个“定理”的数学家，全都无例外地在定义无理

数时不自觉地利用了“实数是连续的”这一命题，因此有关证明属于循环论证，不能成立(这一

命题是一个公设，不是定理，所以文中把“定理”二字打上了引号)。从逻辑上来看，无论用“分

割”，还是用“区间序列(区间套)的极限”来定义实数(参见下文)，都是试图用有理数去定义无

理数。这种作法与“自然数中心论”直接相关——既然可以用自然数和“运算”去定义分数，为什

么不可以用有理数和“分割”(与“运算”一样，这也是一种相关“操作”)去定义无理数?一旦认识

到用自然数和运算去定义分数的作法就违背了数学分析的内在逻辑(正如用已知行星及其轨

道相关去定义冥王星，违背天文学的内在逻辑，参见上节)，那么就可以知道，一切“形式地建立

实数理论”([3]第173页)的作法都缺乏逻辑根据——数的形式(静态形式如数的集合与大小

顺序，动态形式如运算)不能取代数的实质(测量的结果，参见本文第2节)。

    例如，在狄台金基本“定理”(实数的连续性)的证明过程中，首先使用“分割”来定义有理数

和无理数，即把全部有理数的集合分成两个非空的集合A、A’，使得每一个有理数在而且只在

A与A，两个集合的一个中，并且集合A中每一个数a小于集合A’中每个数a’([6]第2页)，

然后用这种分割来定义实数：如果某一分割使得下类A中没有最大的数，而在上类A’中有最

小的数r，或使下类A中有最大的数r，而在上类A，中没有最小的数(第一类分割)，那么这分

割定义了有理数r。如果某一分割使得下类A中没有最大的数，而在上类A’中没有最小的数

(第二类分割)，那么这分割定义了某一个无理数。

    为什么每一种第二类分割能够只定义“一个”无理数?换句话，与这种分割所对应的“非有

理数”，为什么只是“一个”，而不是若干个，甚至是无限个?回答是：只有事先假设了“实数是连

续的”，每一种第二类分割才能够只定义一个无理数——由于有理数与无理数之间不存在“空

部分。这一讨论已超出本文范围，故从略。

    伽里略一牛顿一爱因斯坦的方法是从可以准确加以测量的真实的物理实体和事件中抽象

出非真实的(或“重设的”)。质点”以及“质点之间的作用力”等相对单纯的概念，通过实验建立

起用代数符号表达的定律和线性相关的公式，最后再设法放宽实验条件并把代数符号转换为

数字系列，以便应用于真实的物理世界。这种认识世界的方法在微观和宏观两个方面都受到限

制，并且受到量子力学和混沌(CHAOS)学的挑战——量子力学求助于“质点出现的几率”以便

绕过“测不准”的困难；混沌学则尚欠成熟，因为它虽然认识到真实世界中普遍存在的“非线性

系统”的复杂性远远大于“线性质点系统”，却不知如何解决有关课题。

    刘绍光“一元数理论”的方法是对于不同的物理系统选取不同的空间结构，从而用数字系

列直接拟合真实世界中的实体组合与事件。这种方法提供了一个值得探讨的新思路，有可能从

微观到宏观一举解决量子力学和混沌学中的棘手课题。

    最后，笔者感谢吾友刘宗超为本文初稿提出中肯的修改建议，以及倪征综先生的关注。在

此，希望更多的朋友给我指教。

参考文献

[1]刘绍光．一元数理论初探．中国展望出版社，1984

[2]刘宗超．刘绍光及其一元数理论．大自然探索，1988(2)：】03—1 1 1

[3]勃罗斯库列亚柯夫，N．B．数与多项式高等教育出版社，1956年版

[d]康帕涅茨，亚．索．理论物理学．人民教育出版社，1960

[53方励之，褚耀泉．从牛顿定律到爱因斯坦相对论．科学出版社，I 98I

[6]菲赫金哥尔茨．数学分析原理．第一卷第一分册，人民教育出版社，1959年版

    NUMBER。MEASURTNG，COMPLEX CoNTTNUITY

    —Concurrent discussion on Liu Shaoguang’s Unichor Mathematics Physics

    Zhzng Xiangping

    (Beijing Agricultural U niversity，Beijingl00020)

    Abstract

    Natural number，faction number,negative number，non—reasonable number·and imaginary number could

and should be all defined as measured result．It has never been certificated that real number set is continuous，

while it should be a more reasonable conclusion that complex 13urnbet set js eontinUOUS—all kinds of known

cornputation could be done in the cornplex numher set．Liu Shaoguang’S anichor mathematies—phys~s gives a

measurable way to weight the real Space and the imaginary Space，and develops theoretical physics obviously

after Einstein and quantum methanes．

  Key wordsnumber，Measu~ng，C,olllplex contimff口tunichor mathematlcs-phys／cs

  [作者简介]张样平，副教授，1946年生于武汉。1982年毕业于中国林业科学院研究生院，获硕士学位。

989一1990在荷兰进修。现在北京农业学院任教。

(收稿日期：I 994—04一I 8)

责任编辑尧汝英